01 De Euler-Poincaré formule

De Euler-Poincaré formule is een centrale formule uit de topologie. Topologie is zelf een belangrijke discipline binnen de wiskunde. In de Nederlandstalige Wikipedia wordt topologie omschreven als de studie ‘die zich bezig houdt met eigenschappen van de (wiskundige) ruimte, die bewaard blijven bij continue vervorming (de objecten mogen niet worden gescheurd of geplakt.’
Als klassiek voorbeeld wordt hierbij in Wikipedia de transformatie van een theekop (met oor) in een torus (zoals bijvoorbeeld de binnenband van een fiets) getekend (http://nl.wikipedia.org/wiki/Topologie). Overigens dekt deze definitie in Wikepedia niet precies alles wat voorwerp van topologische studie is, maar geeft ze in grote trekken wel een aansprekend beeld ervan.

De Euler-Poincaré formule beschrijft hoe elementaire eigenschappen van tal van uiteenlopende meetkundige figuren in één formule kunnen worden gevangen. Eigenschappen betreffen met name de aantallen hoekpunten, ribben en vlakken van een meetkundige vorm (bijvoorbeeld een kubus). Het is typerend voor een topologische benadering om geïnteresseerd te zijn in aantallen vlakken en ribben, en niet in hun groottes, zoals dikwijls wel bij meetkundige vraagstukken (bijvoorbeeld: reken het oppervlak van een cirkel uit als de straal 4cm bedraagt).

Waarom van die formule een thema gemaakt in een weblog?

De formule heeft voor mij een bijkans magische aantrekkingskracht door zijn eenvoud, reikwijdte en de niet zelden weerbarstige praktijk om een gegeven figuur in termen van de formule te interpreteren (heeft dat ding nou wel of geen hoekpunten?). Het ermee bezig zijn en oplossingen uit te vinden geeft mij een soort van autistisch genoegen: het is totaal nutteloos, getikt en toch heerlijk. Het totaal nutteloze moet evenwel bij deze onmiddellijk worden gerelativeerd: deze topologische onderneming is begonnen om problemen in het grote project ‘Bewustzijn en maatschappij’ te helpen oplossen. En daarin is de onderneming nuttig. Maar buiten andere talloze nuttige toepassingen in wetenschap (kosmologie) en techniek (een hond aan de lijn meenemen) zijn topologische inzichten op zich, zonder nut voor iets anders, bevredigend.

De eerste weblogs van mijn hand betreffen bekende zaken die op elementaire wijze aan de orde worden gesteld. Voor kenners gesneden koek. Geleidelijk aan worden inzichten gepresenteerd die mogelijkerwijs niet in leerboeken zijn terug te vinden. Ik heb net zo lang op de stof gekauwd totdat ik het aandurfde het op te schrijven in de verwachting dat mijn ideeën hout zullen snijden.

Ik heb groot respect voor de uitgebreide en moeilijke wetenschap die topologie is, maar soms dringen aparte vermoedens zich op die ik niet wil (blijven) verbergen. Zijn ze onjuist, of zelfs onzinnig, dan is dat even jammer voor mijn ego, maar voor de rest geen man overboord. Kloppen ze wel, des te beter en interessanter.