In 1895 publiceerde Henri Poincaré een alomvattende uitbreiding van de formule van Euler. Deze formule wordt in het algemeen de Euler-Poincaréformule genoemd.

(1) V – E + F – L + F –2*(S – G) = 0
V = hoekpunten (vertices), E = ribben (edges), F = vlakken (faces), L = lussen (loops), S = schillen (shells), G = gaten (gaps)

L is een variabele, die we nog niet tegenkwamen. Ik las als vertaling voor loops ook wel randen. Elk vlak heeft tenminste één rand (een loop of lus). In eerste instantie heeeft namelijk elk vlak een outer loop of buitenrand. Als er een opening in het vlak zit dan is er ook een inner loopof binnenrand.
Omdat elk vlak tenminste één outer loop heeft impliceert f altijd een aantal van l=f loops.
Dus als -bijvoorbeeld, f=3 dan geldt f-l+f=3-3+3=3:

(2) F → = f – l + f ≤ f

Zijn er twee vlakken, waarvan één met een opening (dus twee outer loops en één inner loop), dan wordt (2) gespecificeerd tot:

(3) F → 2 – (2+1) + 2 = 1 ≤ (f =2)

De tweede nieuwe variable is S: shell of schil. Om een compacte kubus zit één schil. Bevindt zich binnen de kubus een holte dan geldt s=2. Bevindt zich in die holte weer een compacte kubus dan geldt s=3.

Formule (1) herschrijven we -wat mij betreft- voor het gemak tot:

(4) V – E + F – L + F –2S + 2G = 0

Voor specifieke waarden gaat (4) over in (5):

(5) v – e + f – l + f – 2s + 2g = 0

Voor –bijvoorbeeld- een compact kubusachtig lichaam geldt:

(6) 8 – 12 + 6 – 6 + 6 – 2 + 0 = 0

Ikzelf vind de formule (1) sprookjesachtig mooi. Gek genoeg kom je hem niet zo heel vaak tegen op het web. De eenvoudigere en beperktere formule van Euler, zoals in 02 De Formule van Euler zie je veel vaker.

Euler publiceerde zijn formule in 1752. In 1813 publiceerde Simon Antoine Jean Lhuillier (zijn voornamen en achternamen worden op het internet op uiteenlopende wijzen gespeld: bijvoorbeeld Antoine-Jean Lhuilier; dit terzijde) ook een verbetering of/en uitbreiding van de formule van Euler. Lhuillier laat zien dat als je gaten boort in een massief veelvlak dat de formule dan moet worden aangepast.

Ter herinnering, de oorspronkelijke formule van Euler (maar dan met Engelstalige notatie):

(1) V –E + F =2

Lhuillier breidt de formule uit tot:

(2) V – E + F = 2 – 2G
G staat voor het aantal gaten (gaps).
Dus als g=1 dan wordt de rechter term 2-2=0. In het geval g=2 wordt het resulaat 2 –2*2 = -2. En zovoort.

Duidelijk, maar wat is eigenlijk een gat? Een gat is een tunnel die ergens een veelvlak in gaat en ergens anders eruit gaat. Een gat is dus niet zozeer een deuk (zoals een put in de grond), als wel een tunnel met een ingang en uitgang.

Als we bijvoorbeeld een kubus met een driehoekige tunnel er doorheen nemen dan geldt:

(3) v=14, e=21, f=9, g=1:
(4) v – e +f = 2 –2g
(5) 14 – 21 + 9 = 2 – 2*1 = 0

Het is niet moeilijk om in te zien dat formule (1) een speciaal geval is van formule (2) voor het geval dat G=0.

Nota bene: ‘g=0’ betekent: het aantal gaten is 0 en ‘G=0’ betekent: er bestaan geen gaten. In de vorige blogpagina schreef ik dat hoofdletters in de Eulerformule staan voor alle mogelijke aantallen en kleine letters voor gegeven aantallen, vandaar.

De formule van Lhuillier is op haar beurt een inperking van een alomvattende formule welke omstreeks 1895 door Poincaré is bedacht. Daarover gaat de volgende posting.

De Euler-Poincaréformule is een generalisatie van de Formule van Euler. Euler is waarschijnlijk de meest productieve wiskundige ooit geweest (http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Printonly/Euler.html).

Het is nuttig om eerst de (veel) eenvoudiger formule van Euler te bekijken en te doorgronden alvorens je tanden in de formule van Euler-Poincaré te zetten.

De formule zegt dat elk veelvlak dat we als een massief lichaam voorstellen kan worden weergegeven met:

(1) V – E + F = 2

V is het aantal hoekpunten (Engels: vertices); E is het aantal ribben (Engels: edges) en F is het aantal vlakken (Engels: faces).
Dus voor een massieve kubus geldt:

(2) v=8, e=12, f=6:
(3) v – e + f = 2
(4) 8 –12 + 6 = 2

Nota bene in expressie (1) is de formule van Euler weergegeven in kapitalen, terwijl (2) geheel in onderkast staat. De variabelen uit (1) hebben betrekking op alle mogelijke aantallen (natuurlijke getallen: nul en alle postieve gehele getallen). Expressie (3) duidt aan dat voor elke variabele uit (1) een bepaald aantal (natuurlijk getal) geldt.

Zo is blijkens (2) v gelijk aan 8, enzovoort. Uit (4) kan worden afgeleid dat de algemene formule (1) klopt voor de kubus.
Dit is natuurlijk geen bewijs voor de algemene juistheid van (1). Er zijn evenwel tal van bewijzen (http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/euler/) voor deze formule. Wij gaan in het kader van deze weblog niet in op bewijzen: we nemen de formule voor waar aan.

We kunnen een willekeurig ander massief veelvlak nemen en daar de formule op los laten. Bijvoorbeeld een regelmatig viervlak:

(5) v=4, e=6, f=4:
(6) 4 – 6 + 4 = 2

De formule (1) is waar, maar onder beperkte voorwaarden. In de volgende posting meer hierover.

Tot slot nog één opmerking.

De formule is van toepassing op een kubus, tetraëder (regelmatig viervlak) of welke veelvlak ook. Maar het is daarbij niet noodzakelijk dat –bijvoorbeeld in het geval van de kubus- alle ribben identiek zijn: qua vorm of lengte. Als de aantallen (v, e en f) maar kloppen. Dus je kan eerder spreken van toepassing op kubusachtige, tetraëderachtige of wat ook veelvlakachtig dan enkel alleen van kubussen, tetraëders enzovoorts.