De formule van Euler:
(1) V – E + F = 2
kan worden opgevat als een beperking van de EPF (Euler-Poincaréformule):
(2) V – E + F –L +F – 2S + 2G = 0
Als in (2) geldt l=F, s=1 en g=0 dan gaat (2) over in (3):
(3) V – E + F – f + F – 2 + 0 = 0
N.B. Omdat de waarde van L gebonden is aan die van F schrijven we voor L een kleine letter f.
Formule (3) is te herschrijven tot:
(4) V – E + F = 2
Formule (4) is identiek met formule (1).
De formule van Euler is de EPF zonder lussen (L) of gaten (G) en heeft maar één schil (S), uitgedrukt in de constante 2 aan de rechterzijde van de vergelijking in (4).
Opgemerkt kan worden dat de betekenis van EPF een andere is dan die van de EF. Wat in de EF een constante is (de 2), is in de EPF de uitkomst van –2*S, voor het geval dat s=1. Voor Euler bestaat er niet zoiets als een schil. Dit geldt ook voor de begrippen ‘gaten’ en ‘lussen’.
Interessant is de vraag: hoe ver reikt de formule van Euler-Poincaré?
In de loop van de tijd zijn er verschillende uitspraken gedaan met betrekking tot de (vermeende) beperkte geldigheid van de Eulerformule. In de volgende posts wordt hierop ingegaan. Uiteraard komt dan ook de vraag naar de reikwijdte van de EPF aan de orde.