07 Euleroperatoren: vingeroefeningen

Met de Euler-Poincaréformule en de Euleroperatoren hebben we in principe de belangrijkste hulpmiddelen geformuleerd om veelvlakken te beschrijven. Voordat diverse beschrijvingen uit de vaklitteratuur tegen het licht worden gehouden, zullen we eerst een paar vingeroefeningen met de Euleroperatoren doen. Dit puur om de formules een beetje in de vingers te krijgen, het Fingerspitzgefühl te ontwikkelen.

Een tetraëder (regelmatig viervlak) bestaat uit –inderdaad- vier vlakken, zes ribben en vier hoekpunten:
(1)
massieve-tetraeder1
tetraeder3
Uit het niets ontstaat (→A) een (massieve) tetraëder (1) -bijvoorbeeld- als volgt:
(2) Msfv: s=1
[grondvlak plus tophoek, inclusief de schil] (3) 3*Mev: v=4
[met drie keer de operatie Mev wordt het grondvlak omlijnd, inclusief aanbrenging van de driehoekspunten] (4) 3*Mfe: e=6, f=4, l=4
[hiermee zijn de opstaande vlakken en ribben aangebracht]

N.B. Voor (2) tot en met (4) geldt dat na de dubbele punt “:” telkens aantallen welke corresponderen met waardes uit regel 2 van (1) staan vermeld. Dus bijvoorbeeld “Msfv: s=1″ betekent dat er één shell is, welke in regel 2 van (1) de waarde “-2” heeft.
Om aantallen van waardes te onderscheiden zijn de symbolen voor aantallen cursief weergegeven, terwijl de waardes regulier gedrukt zijn. Bijvoorbeeld: l=4 impliceert de waarde l=-4.

Na (2) is de schil aangebracht, na (3) zijn alle vier hoekpunten aangebracht en na (4) zijn alle ribben en vlakken aangebracht.

Met de juiste Killoperaties kan het viervlak weer geheel worden gedemonteerd, dus terug naar af: A →. Dat wil zeggen:
(5) 3*Kfe
(6) 3*Kev: e=0
(7) Ksfv: s=0, f=0, l=0

Vanuit het massieve viervlak (1) maken we een massieve kubus (8 hoekpunten, 12 ribben en 6 vlakken):

(8) van-massieve-tetraeder-naar-massieve-kubus21 kubus-massief
Regel 4 uit (8) geeft de verschillen in waardes aan tussen een massieve kubus en en massieve tetraëder. Dus de verschillen tussen de waardes uit regel 3 en de waardes uit regel 2.

De volgende Euleroperatoren zijn toegepast:
(9) 4*Mev: v=8
[de acht hoekpunten van de kubus zijn aangebracht] (10) 2*Mfe: f=6, l=6, e=12
[de zes vlakken en de twaalf ribben van de kubus zijn aangebracht]

N.B. Voor (9) en (10) geldt dat na de dubbele punt “:” de aantallen die corresponderen met waardes uit regel 3 van (8) staan vermeld als deze anders zijn dan die uit regel 2. Dus die van de shell (s) en de gaps (g) worden niet vermeld, want blijkens regel 4 zijn die niet veranderd.

Hiermee is een kubus vanuit een tetraëder door middel van Euleroperaties tot stand gekomen: tetraëder →kubus
Het is niet moeilijk de weg terug, kubus →tetraëder, uit te voeren met behulp van de juiste Killoperatoren.

De kubus uit (8) is massief, we maken deze nu hol:

(11)
massieve-naar-holle-kubus
kubus-hol
We zien dat alle waarden verdubbeld worden (van acht naar zestien hoekpunten, etc.). Met name komt er ook een schil om de holte erbij.
De volgende operaties zijn in het spel:
(12) Msfv: s=2
(13) 7*Mev: v=16
(14) 5*Mfe: f=12, l=12, e=24

(15)
van-hol-naar-1-opening1
kubus-met-opening De opening is een ‘rondje’ dat bestaat uit één hoekpunt en één ribbe; zowel aan de ‘binnenkant’ als aan de ‘buitenkant’ van de wand van de holle kubus is er een lus of loop (l) om de opening heen. De opening heeft dus twee lussen. De opening bestaat evenwel uit slechts één ribbe (e) en één hoekpunt (v).
In de tekening is in het rondje van de opening geen hoekpunt getekend. In een latere post meer hierover.

De opening maakt dat de ‘binnenruimte’ van de kubus deel uit gaat maken van de ‘buitenwereld’ en daarin als het ware oplost: het aantal schillen gaat daarmee terug van twee naar één.

De operatoren, tengevolge waarvan de holle kubus zonder opening er één wordt met een opening:
(16) Mfe
(17) 2*Mev
[De opening is omlijnd door één ribbe (e) en één hoekpunt (v)] (18) Ksfv: s=1, v=17
(19) 2*KeMl: e=25, l=14

(20)
holle-kubus-met-1-opening-naar-met-1-gat
kubus-met-gat
Een gat impliceert twee openingen. De volgende operatoren bewerkstelligen de overgang van (15) naar (20):
(21) Msg: g=1
(22) Mfe
(23) 2*Mev
(24) Ksfv: v=18
(25) 2*KeMl: e=26, l=16

Tot dusverre hebben we langs gebaande wegen de theorie gevolgd, inclusief een paar vingeroefeningen. In de volgende post wordt een nieuw inzicht gepresenteerd. Overigens blijven we daarmee wel, zal worden vastgesteld, binnen de grenzen van de Euler-Poincaréformule, zelfs binnen binnen de grenzen van de Eulerformule.

maart 20, 2009 door Kees Hellinga categorie De Euler-Poincareformule 0 Reacties
Lees meer

06 Euleroperatoren


De Euler-Poincaréformule impliceert een oneindige verscheidenheid van meetkundige configuraties zoals bijvoorbeeld kubussen, viervlakken etc. In dit oerwoud van mogelijkheden is orde geschapen door het formuleren van een aantal Euleroperatoren. Toepassing van Euleroperatoren maakt het mogelijk om:

  • vanuit het niets meetkundige configuraties te construeren
  • vanuit de ene configuratie naar een ander te geraken
  • uit meerdere configuraties een nieuwe te maken.

    • Er bestaan twee groepen operatoren waarmee zoiets kan worden gedaan.
    In 1984 zijn deze groepen door Martti Mäntylä geformuleerd.
    De ene groep wordt “The Make Group of Euler Operators” genoemd, de andere “The Kill Group of Euler Operators”. Voor onderstaande beschrijvingen wordt gebruik gemaakt van een heel nuttige pagina van de Michigan Tech.

    (1)scheppende-operatoren5

    Als we ons de Euler-Poincaréformule herinneren:

    (2) v – e + f – l + f – 2s + 2g = 0
    dan zien we dat elke operator per saldo als waarde nul oplevert:

    (3)
    Mev = -1 +1 =0
    Mfe = +1 –1 +1 –1 =0 [N.B. Mf impliceert f -l +f = 1 -1 +1] Msfv = -2 +1 –1 +1 +1 =0
    Msg = -2 +2 =0
    MeKl = -1 +1 =0

    Tabel (1) geeft aan welke grootheden (V, E, F, L, S of G) tengevolge van de operatoren (Mev, Mfe, Msfv of MeKl) verschijnen of in een enkel geval (onderste regel met betrekking tot L) verdwijnen. Tabel (3) geeft de waarden tengevolge van de werking van de operatoren op de grootheden uit de formule van Euler-Poincaré.
    In zekere zin impliceert een Euleroperator een verandering van een Euler-Poincaréconfiguratie:

    (4) EO→⌂EPF
    (Dat huisje in (4) stelt het wiskundesymbool voor verandering voor: de letter ‘delta’ uit het Griekse alfabet.)

    Omgekeerd zijn er de Kill-operatoren:

    (5)
    vernietigende-operatoren1
    Toepassing van de Euler-Poincaréformule levert uiteraard telkens weer per saldo nul op:

    (6)
    Kev = +1 -1 =0
    Kfe = -1 +1 -1 +1 =0
    Ksfv = +2 -1 +1 -1 -1=0
    Ksg = +2 -2 =0
    KeMl = +1 -1 =0

    In de komende posts behandelen we ten eerste de verschillende configuratiemutaties:

  • om vanuit het niets meetkundige configuraties te construeren:
      (7) →A
  • om vanuit de ene configuratie naar een ander te geraken:
      (8) A→B
  • om uit meerdere configuraties een nieuwe te maken:
      (9) (A+B)→C

    • A, B, C etc. staan symbool voor diverse meetkundige configuraties in termen van EF of EPF zoals bijvoorbeeld een kubus.
    Ten tweede behandelen we diverse opvattingen met betrekking tot wat wel of niet conform de EF of de EPF is. Of omgekeerd: geldt de EF of de EPF ja dan nee voor een gegeven configuratie?

    februari 13, 2009 door Kees Hellinga categorie De Euler-Poincareformule 0 Reacties
    Lees meer

    05 Over reikwijdte van de EPF

    De formule van Euler:

    (1) V – E + F = 2

    kan worden opgevat als een beperking van de EPF (Euler-Poincaréformule):

    (2) V – E + F –L +F – 2S + 2G = 0

    Als in (2) geldt l=F, s=1 en g=0 dan gaat (2) over in (3):

    (3) V – E + F – f + F – 2 + 0 = 0

    N.B. Omdat de waarde van L gebonden is aan die van F schrijven we voor L een kleine letter f.

    Formule (3) is te herschrijven tot:

    (4) V – E + F = 2

    Formule (4) is identiek met formule (1).
    De formule van Euler is de EPF zonder lussen (L) of gaten (G) en heeft maar één schil (S), uitgedrukt in de constante 2 aan de rechterzijde van de vergelijking in (4).
    Opgemerkt kan worden dat de betekenis van EPF een andere is dan die van de EF. Wat in de EF een constante is (de 2), is in de EPF de uitkomst van –2*S, voor het geval dat s=1. Voor Euler bestaat er niet zoiets als een schil. Dit geldt ook voor de begrippen ‘gaten’ en ‘lussen’.

    Interessant is de vraag: hoe ver reikt de formule van Euler-Poincaré?
    In de loop van de tijd zijn er verschillende uitspraken gedaan met betrekking tot de (vermeende) beperkte geldigheid van de Eulerformule. In de volgende posts wordt hierop ingegaan. Uiteraard komt dan ook de vraag naar de reikwijdte van de EPF aan de orde.

    januari 30, 2009 door Kees Hellinga categorie De Euler-Poincareformule 0 Reacties
    Lees meer
    Page 6 of 8« First...45678